AndroidのExpo Clientアプリ(Expo Go)を入れたいときは、基本的にExpo CLIでexpo client:install:android を実行するか、Google Playから最新版をインストールする形になるかと思います。
ただ、USBにつながっていないときや、Storeにないバージョンをインストールしたいときは、以下のS3に各バージョンのAPKファイルが置かれており、そこにAndroid端末からアクセスして直接ダウンロードすることも可能です。(x.x.xのバージョン部分は変更してください) https://exp-android-apks.s3.amazonaws.com/Exponent-x.x.x.apk
※このURLは変更される可能性がありますのでご注意ください